KOI WIN L^AT_EX PS PDF

Стохастические транспортные сети и устойчивость динамических систем

В.И. Оселедец, Д.В. Хмелёв

11 ноября 1998

Аннотация

Рассмотрена сеть содержащая N узлов и rN приборов, первоначально находящихся в узлах. В каждый узел поступает пуассоновский поток заявок интенсивностиl(t). Заявка, попавшая в пустой узел, покидает систему. Если в узле есть приборы, то из них равновероятно выбирается прибор, который забирает заявку и перемещает ее в случайный узел, который выбирается равновероятно. Время перемещения распределено экспоненциально со средним значением 1. Число обслуживающих приборов в каждом из N узлов не превосходит m.

Мы исследуем устойчивость предельного детерминированного процесса, получаемого при N®Ґ. Далее, мы применяем наши результаты к системе массового обслуживания со сложной дисциплиной выбора прибора.

Ключевые слова: Марковские процессы, нелинейные динамические системы, глобальная асимптотическая устойчивость, производящий оператор, сходимость, метод среднего поля, теория массового обслуживания.

Содержание

1  Введение
2  Основные определения и результаты
3  Вспомогательные утверждения
    3.1  Коэффициент эргодичности и его свойства.
    3.2  Глобальная асимптотическая устойчивость некоторых динамических систем.
4  Доказательства теорем 2.1-2.4
5  Замечание о модели из [4]

1  Введение

Рассмотрим сеть из N узлов, 1 виртуального узла и rN обслуживающих приборов. В каждый узел пуассоновским потоком с интенсивностью l(t) поступают заявки. Пуассоновские потоки заявок в разные узлы независимы. Заявка, попавшая в пустой узел, покидает систему. Если заявка попадает в узел с приборами, то случайно и равновероятно выбирается один из приборов, который забирает заявку и переходит в виртуальный узел. Там прибор находится экспоненциально распределенное время со средним значением 1, затем прибор перемещается в узел, равновероятно выбираемый из всех N узлов. Если число приборов в выбранном узле равно m, прибор ждет следующей попытки в виртуальном узле экспоненциально распределенное время со средним 1. Таким образом, в каждом узле (кроме виртуального) может находиться от 0 до m приборов.

Введем дроби f_k = n_k/N, V = W/N, где n_k - (случайное) число узлов, количество приборов в которых равно k, а W - количество приборов, находящихся в виртуальном узле. В технических целях удобно перейти к накопленным вероятностям u_k =е_{i = k}^m f_i.

Пространство X_N состояний марковского процесса U_N(t), который описывает систему, содержит всех такие вектора u = (u₁,ј, u_m, V)^т из (1/N)Z₊^m+1, что

1 = u0і u1 іјі um і 0, Vі 0и V+u1+ј+um = r.

(1)

Производящий оператор A_N(t) процесса U_N(t) действует на функции и задается следующим образом

ANt f(u) = Nl(t) m-1 е k = 1  (uk-uk+1)[f(u-ek/N+em+1/N)-f(u)]+ +Nl(t)um[f(u-em/N+em+1/N)-f(u)]+ +N V m е k = 1  (uk-1-uk)[f(u+ek/N-em+1/N)-f(u)],

(2)

где e_i - вектор, i-тая координата которого равна 1, а остальные координаты равны 0.

Метод среднего поля подсказывает, что в пределе при N®Ґ эволюция u становится детерминированной. Более точно: пусть X означает множество всех векторовR^m+1, удовлетворяющих (1). Тогда, если распределение начального состояния U_N(0) сходится к дираковской дельта-функции, сконцентрированной в точке gО X, то распределение U_N(t) сосредотачивается при больших N на траектории u(t)О X, удовлетворяющей системе дифференциальных уравнений

. u   = f(u(t),l(t)),

(3)

где

fi(u,l) =l(ui+1-ui)+V(ui-1-ui), i = 1,ј, m-1, u0 = 1, fm(u,l) =-lum+V(um-1-um), fm+1(u,l) =lu1-V(1-um).

(4)

Техническим инструментом в исследовании поведения этой нелинейной системы служит теорема 3.3 о глобальной асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений весьма общего вида. Эта теорема, которая, в частности, дает возможность исследовать случай зависимых от времени коэффициентов, представляет несомненный практический и теоретический интерес.

2  Основные определения и результаты

Норма||·|| определяется как||u|| =|u₁|+ј+|u_m|+|V|. Мы предполагаем, что

min tіt  l(t) = l   > 0 и sup tіt  l(t) <Ґ.

(5)

Теорема 1 Пустьl(t) - кусочно-непрерывная функция. Тогда

(а) для всех gО X в X существует единственное решение u(t, t, g), tіt задачи Коши (3) с u(t, t, g) = g;

(б) существует такоеg > 0, что для любых g, gўО X

||u(t,t,g)-u(t,t,gў)||Ј const·exp(-g(t-t));

(в) если функцияl(t) периодическая с периодом T, то существует такое единственное g^*О X, что u(t,t, g^*) является T-периодическим решением (3) и для любого gО X

||u(t,t,g)-u(t,t,g*)||Ј const·exp(-g(t-t));

(г) еслиl(t) постоянна, то существует и единственно такое g^*О X, что u(t,t, g^*) = g^* и для любого gО X

||u(t,t,g)-g*||Ј const·exp(-g(t-t)).

Стационарное решение g^* пункта (г) легко находится (см. [1]). Определим семейство операторов T_N = T_N(t,t) по правилу

TN(t,t)f(g) =E(f(UN(t)) | UN(t) = g),gО XN.

(6)

Теорема 2 Еслиl(t) кусочно-постоянна, то для всех fО C(X), равномерно по t на произвольном отрезке изR_t⁺ = {t іt},

lim N®Ґ  sup tЈ sЈ t  sup gО XN  |TN(s,t)f(g)-f(u(s,t,g))| = 0.

(7)

Обозначим черезe_g дельта-меру Дирака, сосредоточенную в точке gО X.

Теорема 3 Пусть выполнены условия теоремы 2.2. Если U_N(t) по распределению сходится кe_g, то

"tіt sup tЈ sЈ t  ||UN(s)-u(s,t,g)||® 0 по вероятности.

Еслиl(t) периодична с периодом T, то процессы U_N,t(n) = U_N(t+nT), где n = 0, 1, ... , образуют множество однородных цепей Маркова с дискретным временем и конечным числом состояний, каждая из которых в силу связности обладает единственной инвариантной меройm_N,t =m_N,t+T. Пункт (в) теоремы 2.1 утверждает, что у системы (3) существует единственный инвариантный цикл u(t, 0, g^*).

Теорема 4 Пустьl(t) =l(t+T). Тогда

(а) для tО [0,T) на множестве X существует единственная вероятностная мера, инвариантная относительно динамической системы g®u(t+T,t,g), gО X. Эта мера сосредоточена в точке u(t, 0, g^*), т.е. равна e_{u(t, 0, g^*)};

(б) инвариантные мерыm_N,t процессов U_N,t сходятся по вероятности кe_{u(t, 0, g^*)},

Последняя теорема охватывает также случай l(t)є const. Действительно, тогдаm_N,t =m_N, гдеm_N - стационарная мера процесса U_N и m_N®e_g^* по вероятности.

3  Вспомогательные утверждения

3.1  Коэффициент эргодичности и его свойства.

Введем линейное подпространство L = {xОRⁿ: x₁+ј+x_n = 0}. Линейное отображение A:Rⁿ®Rⁿ назовеммарковским, если ARⁿ₊НRⁿ₊, (1,ј, 1)A = (1,ј, 1). Заметим, что отображение A - марковское, если его транспонированная матрица является стохастической. Пусть A = aB - отображение, пропорциональное марковскому отображению B с коэффициентом пропорциональности a > 0. Для такого отображения A определим коэффициент эргодичности k(A) по правилу k(A) =||A||-||A||_L. Здесь

||A|| = sup xОRn,||x|| = 1  ||Ax|| = max i  ||Aei||,

||A||L = sup xО L,||x|| = 1  ||Ax|| = max i,j  ||A(ei-ej)||/2,

(8)

где||x|| =|x₁|+ј+|x_n|, а {e_k} - стандартный базис вRⁿ. Отметим, что||B|| = 1, k(B) = 1-||B||_L и k(A) = ak(B). Для стохастических матриц B^т коэффициент эргодичности ввел Р.Л. Добрушин и его определение совпадает с нашим (см. [2] и  [3]). Наше определение обладает важным свойством монотонности, доказанным в лемме 3.2.

Линейное отображение Aнеотрицательно (положительно), если ARⁿ₊НRⁿ₊ (ARⁿ₊М Int(Rⁿ₊)). Если A-B неотрицательно, мы пишем Aі B, (если A-B положительно, A > B). Из определений следует, что матрицы просто сравниваются покомпонентно.

В дальнейшем нам потребуются следующие две леммы относительно неотрицательных матриц.

Лемма 1 Пусть Aі Bі 0 и Cі Dі 0. Тогда ACі BDі 0.

Для доказательства достаточно сложить неравенства (A-B)Cі 0 и B(C-D)і 0. По индукции из этой леммы получаем, что если A₁і Bі 0,ј, A_nі Bі 0, то A_nјA₁і Bⁿ.

Лемма 2 Пусть A = aC и B = bD, где C и D - марковские отображения и a, b > 0. Если A > Bі 0, то k(A) > k(B). Если Aі Bі 0, то k(A)і k(B)

Доказательство. Пусть||A|| = a,||B|| = b. Ввиду неравенства треугольника||A||_LЈ||A-B||_L+||B||_L. Если A-B > 0, то, ввиду (8),||A-B||_L <||A-B||. Поскольку ||(A-B)e_i|| = a-b, то||A-B|| =||A||-||B||. Следовательно,||A||_L <||A||-||B||+||B||_L или ||B||-||B||_L <||A||-||A||_L, что и требовалось. Случай Aі B рассматривается аналогично. q.e.d.

3.2  Глобальная асимптотическая устойчивость некоторых динамических систем.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

. x   = f(x,z(t)), xОRn,z(t)ОW,

(9)

гдеW - компакт в евклидовом пространстве, f(x,z) дифференцируемо по x и матрица Якоби

J(x,z) =¶f/¶x = (¶fi /¶xj)

непрерывны по своим аргументам. Эти условия обеспечивают существование и единственность решения x(t, t₀, g) системы (9) с x(t₀, t₀, g) = g.

Положим по определению

a(z) =- min i  min xО X  Jii(x,z),   X МRn.

(10)

Пусть е_{i = 1}ⁿ x_i - первый интеграл системы (9), т.е.е_{i = 1}ⁿ f_i(x,z) = 0. Отсюда следует, что J(x, z)L М L. Мы наложим более сильное ограничение: для всех tі 0, xО X и zОW матрица exp(tJ) задает марковское отображение, что эквивалентно условию неотрицательности недиагональных элементов и равенству нулю суммы всех строк матрицы J.

Пусть X - компактное выпуклое подмножество аффинного многообразия L+c, cОRⁿ, и, кроме того, X инвариантно относительно динамической системы (9). Теперь предположим, что существует такая матрица B і 0, что

(а) для всех zОW, x О X J(x,z) + (z+a(z))I і B, где I является единичной матрицей,zі 0;

(б) B - пропорциональна марковской матрице и для некоторого n₀ ОN коэффициент эргодичности k( (I +B)^n₀ ) > 0.

Теорема 3 Для любого t₀ОR иt > 0 отображение x(t₀+t, t₀, ·): X® X является сжимающим. Если, сверх того, при фиксированномt и фиксированной функции z(t)

sup t0ОR  exp ж з и у х t0+t t0  a(z(t))dt ц ч ш = C(t) <Ґ,

то коэффициент сжатия отображения x(t₀+t, t₀, ·) равномерно по t₀ ограничен сверху числом q < 1.

Доказательство. ПустьF(t₀+t, t₀, g) =¶x(t₀+t, t₀, g)/¶g матрица Якоби отображения x(t₀ +t, t₀, ·): X® X. ТогдаF задает марковское отображение. Из теории дифференциальных уравнений известно, что Fў_t = J(x(t₀+t, t₀, g), z(t))F(t₀+t, t₀, g),F(t₀, t₀, g) = I (это - т.н. уравнение в вариациях). Введем

Y(t) =Fexp ж з и zt+ у х t0+t t0  a(z(t))dt ц ч ш

и

A(t) = J ж и x(t0+t,t0,g),z(t) ц ш +(z+a(z(t0+t)))I.

Из неравенства A(t) і B и уравненияYў(t) = A(t)Y(t),Y(0) = I, с помощью леммы 3.1 можно получить следующие оценки:

Y(t) і exp(tB) і tn0exp(-t) (n0)! (I+B)n0.

Принимая во внимание лемму 3.2, получаем

k(Y(t)) і tn0exp(-t) (n0)! k((I+B)n0) > 0.

Поскольку

k(F) = k(Y)exp ж з и -zt- у х t0+t t0  a(z(t))dt ц ч ш ,

обнаруживаем, что k(F) > 0, или||F||-||F||_L > 0. Поскольку||F|| = 1, находим, что sup_{g О X}||F||_L < 1. При условии C(t) < Ґ легко получить равномерную оценку по t₀.

Наконец, положим

g(s) = (1-s)g1+sg2, 0Ј s Ј 1, g1, g2О X.

Замечая, чтоgў(s) = g₂- g₁О L, получаем

||x(t0+t,t0,g2)-x(t0+t,t0,g1)||Ј у х 1 0  ||F ж и t0+t,t0,g(s) ц ш gў(s)||dsЈ

Ј sup g О X  ||F||L у х 1 0  ||gў(s)||ds = sup g О X  ||F||L||g2- g1||.

Последнее доказывает теорему. q.e.d.

4  Доказательства теорем 2.1-2.4

Доказательство. [Доказательство теоремы 2.1.] Матрица Якоби J правой части (3) равна

J(u,l) = ж з з з з з з з з з з и -b l 0 ... 0 0 (1-u1) V -b l ... 0 0 (u1-u2) 0 V -b ... 0 0 (u2-u3) : : : ··· :  : : 0 0 0 ... -b l (um-2-um-1) 0 0 0 ... V -b (um-1-um) l 0 0 ... 0 V -(1-um) ц ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ш ,

гдеb = l+V.

Проверим выполнение условий теоремы 3.3. Во-первых, множество X является выпуклым компактным подмножествомR^m+1 и является подмножеством аффинного многообразия L+r e_m+1, где L - линейное подпространствоR^m+1 векторов с суммой координат равной 0.

Во-вторых, матрица Якоби задает марковское отображениеF и

a(l) =- min i  min x О X  Jii(x,l) = max (l+r, 1+r/m).

Далее, J(x,l(t))+([`(l)]+a(l(t)))Iі B, где

B = ж з з з з з з з з з з з з з з з з з з з и 0 l   0 ... 0 0 0 0 0 l   ... 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 : : : ··· :  : : 0 0 0 ... 0 l   0 0 0 0 ... 0 0 0 l   0 0 ... 0 0 l   ц ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ш ,

[`(l)] определена в (5).

Матрица (I+B)^m имеет следующий вид:

(I+B)m = ж з з з з з з з з з з и * * * ... * * 0 0 * * ... * * 0 0 0 * ... * * 0 : : : ··· :  : : 0 0 0 ... * * 0 0 0 0 ... 0 * 0 * * * ... * * * ц ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ш ,

где * обозначены положительные элементы матрицы.

Отсюда вытекает, что k((I+B)^m) > 0. Остается проверить инвариантность X относительно (3).

Достаточно проверить инвариантность IntX. Если последнее утверждение выполнено, ввиду непрерывной зависимости траекторий (9) от начального условия, всякое решение (9) с начальной точкой на относительной границе X, никогда не покинет X.

Пусть компоненты вектора u(t,t, g) = (u₁(t),ј, u_m(t), V(t))О IntX. Выполнены следующие строгие неравенства

1 = u0 > u1 > u2 >ј > um > 0, V > 0.

(11)

Пусть для любого tО [t,t₀) u(t,t, g)О IntX, но u(t₀,t, g)П IntX. В момент t₀ некоторые неравенства в (11) превращаются в равенства.

Если V(t₀) = 0 то [dV/dt]|_{t = t0-0} =l(t₀-0) u₁(t₀)і [`(l)]r/m > 0 и мы приходим к противоречию с тем, что V(t₀)-V(t) < 0 для t < t₀.

Следовательно, заведомо V(t₀) > 0. Для уменьшения числа частных случаев введем виртуальную переменную u_m+1є 0. С ее помощью мы можем переписать выражение для f_m в (4):

fm(u,l) =l(um+1-um)+V(um-1-um).

Поскольку 1 = u₀ > u_m+1 = 0 возможны только следующие два случая. 1) Существует такое i, что u_i-1(t₀) = u_i(t₀) > u_i+1(t₀), 2) существует такое j, что u_j-1(t₀) > u_j(t₀) = u_j+1(t₀).

В случае 1) [(du_i-1)/dt]|_{t = t0-0} = V(t₀)(u_i-2(t₀)-u_i-1(t₀))і 0, [(du_i)/dt]|_{t = t0-0} =l(t₀-0)(u_i+1(t₀)-u_i(t₀)) < 0. Получаем [(d(u_i-1-u_i))/dt]|_{t = t0-0} > 0 и приходим к противоречию с тем, что [u_i-1(t₀)-u_i(t₀)]-[u_i-1(t)-u_i(t)] < 0 при t < t₀. Случай 2) рассматривается аналогично. Аналогичная идея использовалась в [4].

Применение теоремы 3.3 дает все заключения теоремы 2.1 и завершает доказательство. q.e.d.

Доказательство. [Доказательство теоремы 2.2.] Без потери общности предположимl(t)єl для любого t, следовательно, T_N(t,t) = T_N(t-t). Теперь воспользуемся методом, изложенным в [2].

Пусть C(X) - банахово пространство непрерывных функций на X c равномерной метрикой ||f|| = max_{xО X}|f(x)|. Определим полугруппу T(t) на C(X) по правилу

T(t)f(g) = f(u(t, 0, g)).

(12)

В разделе 2 мы определили полугруппу T_N(t) = T_N(t,0) на C(X_N). Полугруппы T(t), T_N(t) сильно непрерывны. Пусть A (A_N) обозначает производящий оператор полугруппы T(t) (T_N(t)). Обозначим через D(A) область определения оператора A. Из (12) следует, что fО D(A) для любой функции fО C(X) с

¶f/¶u1,ј,¶f/¶um,¶f/¶V,   ¶2 f/¶2 u1,ј,¶2 f/¶2 um,¶2 f/¶2 V О C(X).

Обозначим через D множество всех таких функций. Можно показать, что D является существенным (core, см. [4] и [5]) подпространством оператора A. Ввиду теорем о сходимости марковских процессов (см., например, [5]) достаточно проверить, что для всех f О D

lim N®Ґ  sup x О XN  |AN f(x)-A f(x)| = 0,

что можно проделать аналогично [4]. q.e.d.

Доказательство. [Доказательство теоремы 2.3] Теорема является следствием теоремы 2.2 и, например, [5]. q.e.d.

Доказательство. [Доказательство теоремы 2.4.] Пункт (а) вытекает из пункта (в) теоремы 2.1.

Перейдем к доказательству пункта (б). Пустьm_N,t - инвариантная мера процесса U_N,t(n). Множество X компактно, следовательно, множество вероятностных мер на X также компактно относительно слабой сходимости. Из теоремы 2.2 следует, что всякая мераm_t, являющаяся предельной точкой для последовательности мерm_N,t, инвариантна относительно полугруппы T(t+nT), n = 0, 1, ... . Ввиду пункта (а),m_t совпадает с мерой, сосредоточенной в точке u(t, 0, g^*) и доказательство завершено. q.e.d.

5  Замечание о модели из [4]

В [4] рассмотрена модель системы обслуживания S_N, с N одинаковыми обслуживающими приборами с неограниченной очередью к каждому из них, наполняемая пуассоновским входным потоком с интенсивностью Nl. Времена обслуживания н.о.р. экспоненциально со средним 1. При прибытии каждая заявка выбирает случайно 2, возможно, совпадающих, прибора (с вероятностью 1/N²) и затем направляется к прибору с меньшей очередью (включая заявку, находящуюся в обслуживании). Если очереди к обоим приборам одинаковы, заявка наугад равновероятно выбирает одну из них. Мы рассмотрим систему S_N^m с ограничением m на максимальную длину очереди. В системе S_N^m заявка, выбравшая обе очереди с m заявками, покидает систему.

Уравнения среднего поля для S_N^m при N®Ґ имеют следующий вид

. u   k  = (uk+1-uk) +l(uk-12- uk2),   k = 1,ј,m-1 , . u   m  =-um +l(um-12- um2),

(13)

где 1 = u₀і u₁ іјі u_m і 0 , u_k - доля приборов, в очереди к которым стоит не меньше k заявок (включая обслуживаемую в данный момент). Введем переменную V:

. V   = u1 +lum2-l,V і 0, V(0) = m- m е i = 1  ui(0).

(14)

Пусть x ОR^m+1 обозначает вектор

(x1,ј,xm+1) = (u1,ј,um,V).

Запишем систему (13), (14) следующим образом

. x   = f(x,l)

(15)

Множество X (см. раздел 3.2) определяется так:

X = {x ОRm+1| 1і x1іјі xm і 0,  xm+1+ m е i = 1  xi = m, xm+1 і 0 }.

Ввиду [4], множество X инвариантно относительно (15). Найдем матрицу Якоби

J(x,l) = ж з з з з з з з з з з и -b1 1 0 ... 0 0 0 2lu1 -b2 1 ... 0 0 0 0 2lu2 -b3 ... 0 0 0 : : : ··· :  : : 0 0 0 ... -bm-1 1 0 0 0 0 ... 2lum-1 -bm 0 1 0 0 ... 0 2lum 0 ц ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ш ,

гдеb_i = 1+2lu_i. Ввиду (10) a(l) = 1+2l. Ясно, что J(x,l)+a(l) Iі B где

B = ж з з з з з з з з з з и 0 1 0 ... 0 0 0 0 0 1 ... 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 : : : ··· :  : : 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 0 ... 0 0 0 1 0 0 ... 0 0 1 ц ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ш ,

Матрица (I + B)^m имеет следующий вид

(I+B)m = ж з з з з з з з з з з и * * * ... * * 0 0 * * ... * * 0 0 0 * ... * * 0 : : : ··· :  : : 0 0 0 ... * * 0 0 0 0 ... 0 * 0 * * * ... * * * ц ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ш ,

где * обозначает положительные элементы матрицы.

Отсюда вытекает, что k((I + B)^m) > 0 и, следовательно, справедлива

Теорема 1 Для любогоl > 0, динамическая система (5.1), (5.2) имеет единственное экспоненциально глобально устойчивое стационарное решение.

Рассмотрим систему

. x   = f(x,l(t)),

(16)

где f(x,l) определена в (15), а T-периодичная функцияl(t) кусочно-непрерывна с infl(t) > 0.

Следующая теорема непосредственно вытекает из теоремы 3.3.

Теорема 2 Динамическая система (16) имеет единственную экспоненциально притягивающую T-периодичную траекторию.

Благодарности

Авторы признательны профессору Л.Г. Афанасьевой за поддержку и стимулирующие обсуждения.

Работа первого автора поддержана грантами РФФИ N960100377 и N99-01-01104. Работа второго автора частично поддержана грантом s98-2042 фонда ISSEP.

Список литературы

[1]

Afanassieva L.G., Fayolle G., Popov S.Yu. Models for transportation networks. - Journal of Mathematical Science, 1997 v.84, N3, p. 1092-1103.

[2]

Добрушин Р.Л. Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова. I//Теория вероятностей и её приложения, Т.1, N⁰1, с.72-89.

[3]

Добрушин Р.Л. Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова. II//Теория вероятностей и её приложения, Т.1, N⁰4, с.365-425.

[4]

Введенская Н.Д., Добрушин Р.Л., Карпелевич Ф.И. Система обслуживания с выбором наименьшей из двух очередей - асимптотический подход. - Проблемы передачи информации, 1996, т. 32, N1, с. 20-34.

[5]

Either S.N., Kurtz T.G. Markov Processes characterization and convergence. N.Y.: John Willey and Sons, 1986, 529 p.

[6]

Vvedenskaya N.D. and Suhov Yu.M. Dobrushin's Mean-Field Approximation for a Queue with Dynamic Routing. - Markov Processes and related fields, 1997, N3, p. 493-526.

Перевод заглавия на английский язык:
Stochastic transportation networks and stability of dynamical systems

Содержание

1  Введение
2  Основные определения и результаты
3  Вспомогательные утверждения
    3.1  Коэффициент эргодичности и его свойства.
    3.2  Глобальная асимптотическая устойчивость некоторых динамических систем.
4  Доказательства теорем 2.1-2.4
5  Замечание о модели из [4]

---

Last modified Wed Jul 3 00:20:05 BST 2002